Delta xis

Volta e meia circulam por canais de matemática algumas questões virais que exigem muito pensamento lateral para serem resolvidas. Algumas não passam de gente vaidosa querendo assustar com fórmulas prolixas, mas outras consistem em manipulações que nos demonstram que temos mais informações do que pensamos, ao ler um enunciado. A questão abaixo é uma dessas.

Se a+b=1 e a²+b²=2, quanto vale a¹¹+b¹¹?

A resposta está abaixo, em código Latex. Copie e cole em qualquer leitor para verificar. Mas antes disso, quero comentar algumas coisas. A maioria dos estudantes tem dificuldade de visualizar que uma razão, não importa os números usados, é sempre a mesma. 3 / 4 é a mesma coisa que (3 / 4)² ou 9 / 12. E isso também ocorre com polinômios. Posso não saber os valores envolvidos nas variáveis, mas sei que a proporção permanece. Além disso, elevar uma operação ao quadrado tem a vantagem de dividir a razão em partes menores. E, quando menos se esperar, será possível encontrar algumas pistas. Então, o primeiro passo é esse: eleve a+b ao quadrado e fatore. Vamos encontrar a²+b², mas também encontramos 2ab. Temos novidade aqui. Mantemos a e b ao quadrado no mesmo lugar e transferimos para o outro lado da igualdade esse número 2. E pronto, temos um valor estabelecido para ab.

Esse valor pode ser usado em todos os polinômios que você vai fatorar. Não importa a combinação que você obtiver, sempre será possível isolar ab, mesmo que você tenha que elevar a alguma potência. Não importa a potência, basta deixar ab entre parênteses e você consegue sempre usar esse valor. E o processo, com os próximos polinômios, é o mesmo: você mantém a+b elevado a alguma potência, e passa o valor obtido pela substituição de ab para o outro lado do sinal de igual. É matemática discreta, mas em alguns aspectos, é quase iterativa.

À medida que você descobrir valores para cada polinômio, você pode ir multiplicando um pelo outro e isolar ab sempre que possível. Vai chegar um momento em que a multiplicação das potências dos polinômios vai dar 11. E aqui a mágica acontece: você encontra a resposta apenas isolando, isolando e isolando.

Confira abaixo a resposta em Latex:

\text{Se }a+b=1 \text{ e } a^2+b^2=2 \text{ encontre valor de }a^{11}+b^{11} \newline
(a+b)^2=1^2 \to a^2+2ab+b^2 \to a^2+b^2+2ab=1 \newline 2+2ab=1 \to 2ab=-1 \cdots \color{Blue} ab=-\frac{1}{2} \newline
\color{Blue} (a+b)^3=1^3 \to a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=1 \color{Black} \to a^3+b^3+3(ab)(a+b)=1 \newline
a^3+b^3+3(-\frac{1}{2})(1)=1 \to ...(-\frac{3}{2})  \to \color{Blue} a^3+b^3=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2} \newline
\color{Blue} (a^2+b^2)(a^3+b^3)=2\frac{5}{2} \color{Black} \to a^5+a^2b^3+a^3b^2+b^5=5 \to a^5+b^5+a^2b^2(a+b)=5 \newline
a^5+b^5+(ab)^2(a+b)=5 \to  (...) -(\frac{1}{2})^2(1)=5 \to ...=5-\frac{1}{4} \to \color{Blue} a^5+b^5=\frac{19}{4} \newline
\color{Blue} (a^3+b^3)^2=(\frac{5}{2})^2 \to \color{Black} a^6+2a^3b^3+b^6=\frac{25}{4} \to ...+2(ab)^3 \to 2(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{4} \newline
a^6+b^6=\frac{25}{4}+\frac{1}{4}=\frac{26}{4} \color{Blue} \to \frac{13}{2} \newline
\color{Blue} (a^5+b^5)(a^6+b^6)=\frac{19}{4}\frac{13}{2} \color{Black} \to a^{11}+b^{11}+a^5b^6+a^6b^5=\frac{247}{8} \to ...(ab)^5(a+b) \newline
a^{11}+b^{11}+(-\frac{1}{2})^5(1)) \to \color{Blue} a^{11}+b^{11}=\frac{247}{8}+\frac{1}{32}=\frac{989}{32}