Delta xis

Esta é daquelas coisas interessantes que nunca nos ensinam na escola. Pega a visão.

Como resolver isso aqui? Sabemos que um fatorial (um ponto de exclamação) é a multiplicação de um número por todos os seus termos anteriores até 1. E fatoriais duplos, triplos? Estes simplesmente são a multiplicação de um número por seus termos anteriores, com um intervalo maior entre eles. Veja a lista abaixo:

7! = (7)(7-1)(7-2)(7-3)(7-4)(7-5)(7-6) ou (7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 5040
7!! = (7)(7-2)(7-4)(7-6) = 105
7!!! = (7)(7-3)(7-6) = 28

Antes de resolvermos o exercício, uma ressalva: (3!)! não é a mesma coisa que 3!!. Na verdade, aqui resolvemos o que está dentro do parênteses, e só depois usamos o ponto de exclamação externo, então temos: 3! = 6. Aplicando o ponto de exclamação externo a esse 6, temos 6! = 720.

Substituindo tudo, temos o resultado abaixo. Tente fazer primeiro, e depois confira a resposta colando o código em um editor Latex.

\frac{880*720}{5040*384}=\frac{55}{168}

Acho que uma boa metáfora para entender como usar este conhecimento é a famosa dança das cadeiras, comum entre as crianças. Quando a música para de tocar, uma criança sempre fica de fora por vez, então começamos com 5!. Se quisermos que uma criança sempre fique de fora a cada duas vezes que a música para, usamos 5!!. A cada três vezes, 5!!!. Então, as probabilidades das crianças sentadas são: 5!=120; 5!!=15; 5!!!=10; 5!!!! e 5!!!!!=5.

Para quem gosta de reality shows, as especulações sobre quem vai ganhar o prêmio da atração ao passar três meses sem trabalhar podem ser feitas assim: se temos 12 participantes, temos…
12! = 479.001.600; 12!! = 46.080; 12!!! = 1944; 12!!!! = 384; 12!!!!! = 168; 12!!!!!! = 72.