Delta xis

Já faz um tempo que encontrei esta questão, neste vídeo aqui, bem modesto, que desafia o estudante a encontrar padrões bem diante de seus olhos. Embora seja parecido com um exercício que apresentei aqui esse mês, aqui não temos a oportunidade de encontrar o valor de duas variáveis combinadas. Na verdade, em certa parte do exercício, em meio às suas pegadinhas, somos levados a um beco sem saída. Do qual só é possível se safar isolando-se os poucos números restantes e, novamente, fatorando-se uma última vez. Basicamente, é uma questão sem caminho definido, que o próprio estudante deve criar. Coisas fundamentais não são dadas pelo enunciado.

(x²+1)(y²+1)+9=6(x+y) /// encontre x²+y²

Spoiler alert: cuidado com o finalzinho da questão. x²+y² NÃO É a mesma coisa que (x+y)². Use e abuse das manipulações algébricas. Duas diferenças de quadrados, entre elas uma bem atípica, podem ser formadas, mas você terá de trazer algo ao exercício para conseguir isso. Pensar fora da caixa é fundamental aqui.

Confira a resolução abaixo em Latex:

(x^2+1)(y^2+1)+9=6(x+y) \newline
x^2y^2+x^2+y^2+1+9=6(x+y) \to x^2y^2\color{Red} +2xy-2xy\color{Black} +x^2+y^2+9+1-6(x+y)=0 \newline
\text{difference of squares: } (x+y)^2=x^2\color{Red} +2xy\color{Black} +y^2 \newline
\text{difference of squares: } (xy-1)^2=x^2y^2\color{Red} -2xy\color{Black } +1 \newline
(x+y)^2(xy-1)^2+9-6(x+y) \to \color{Blue} (x+y)^2(xy-1)^2+3^2-6(x+y)=0 \newline
\text{another difference of squares: } (\color{Blue} (x+y)\color{Black} -3)^2=(x+y)^2-6(x+y)+9 \newline
(xy-1)^2+((x+y)-3)^2=0\newline
\text{both polynoms must be zero, so...} \newline
xy-1=0 \to xy=1 \text{ and } (x+y)-3=0 \to x+y=3 \newline
\text{substitute in any of the polynoms:} \newline
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \newline x^2+y^2=(x+y)^2-2(1) \to (3)^2-2=7