A geometria é o ramo da matemática que mais lembra o ofício de um delegado: antes de qualquer cálculo, você precisa sempre investigar o que o enunciado não dá logo de cara. Entre relações trigonométricas e razões, tem sempre coisa que o polígono diante de você revela. Várias delas aprendi com o canal PreMath, que recomendo, e que comprova a teoria que já li internet afora de que, quando se quer encontrar uma explicação fácil para algo, pesquise um indiano explicando.
Espiral de Teodoro
Consiste em uma espiral infinita, formada por triângulos, cujo padrão consiste em a base n do triângulo ser uma raiz, a altura ser 1, e a hipotenusa ser uma raiz n + 1. Prático, né?
Triângulo especial
Um triângulo retângulo especial possui alguma característica regular que facilita cálculos. Por exemplo, um triângulo retângulo pode ter ângulos formando relações características, como 45°–45°–90°, ou seja, um triângulo retângulo “baseado em ângulo”. Um triângulo retângulo “baseado em lado” tem lados com comprimentos formando relações de números inteiros, como 3 : 4 : 5, ou de outros números especiais, como a proporção áurea [1].
E aqui quero chamar sua atenção para os triângulos de proporção 3 : 4 : 5, pois são comuns em exercícios do Ensino Médio. Mesmo tendo apenas uma medida fornecida pelo exercício, você consegue obter todos os outros lados. Os triângulos 3 : 4 : 5 são os únicos com lados em progressão aritmética. Triângulos baseados sobre triplas pitagóricas são heronianos: têm áreas, bem como lados, inteiros.
Veja abaixo como descobrir todos os lados de um triângulo retângulo tendo apenas uma medida:
Lado 10: os outros lados são 6 e 8 (3, 4 e 5 vezes 2);
Lado 16: os outros lados são 12 e 20 (3, 4 e 5 vezes 4);
Lado 21: os outros lados são 28 e 35 (3, 4 e 5 vezes 7).
Existem diversas triplas pitagóricas bem conhecidas, incluindo aquelas com lados nas relações:
3: 4 :5 5: 12 :13 8: 15 :17 7: 24 :25 9: 40 :41
Interpolação
E se estivermos diante de um polígono com mais de 4 lados? Aí a gente aplica um conceito da progressão aritmética, resumido na concisa fórmula abaixo:
an = a1 + (n – 1) * r
Bônus: em questão do ENEM, já foi cobrado o número pentagonal. A questão pergunta qual é o oitavo número pentagonal. E a imagem, embora interessante, mais confunde do que explica. Talvez apenas apresentando números ficasse mais fácil de responder. O número pentagonal é uma progressão aritmética: você começa com um número n, o número 1. Para obter o próximo número, você soma esse n com n mais 1. Para as próximas somas, você soma o resultado da soma anterior por n da soma anterior mais 3. Veja exemplos abaixo:
1 1 + 4 = 5 5 + 7 = 12 12 + 10 = 22 22 + 13 = 35
Mais pistas
Outras pistas valiosas estão diante de nosso nariz. A altura do triângulo não pode ser maior do que metade da base deste. Caso o exercício possua muitas linhas, não se desespere e lembre-se do teorema de Tales: se cortarmos duas retas por várias retas paralelas, os segmentos em ambas são proporcionais. Se observarmos bem, tem sempre uma proporção disponível para nos guiar.
Quanto aos círculos, o teorema de Tales afirma também que se uma reta AC é o diâmetro desta circunferência, então os pontos ABC formam um triângulo retângulo.
Atalhos
E se acha que exagero quando afirmo que geometria tem mais a ver com investigação do que com cálculos, peguei um exercício do PreMath para mostrar a vocês que, sabendo certas coisas, é possível ganhar muito tempo. Aqui, precisamos descobrir a área da parte rosa, e para isso precisamos calcular o raio, a área do retângulo, do quarto de círculo e, por fim, subtrair a área do círculo pela do retângulo.
No vídeo, a resolução do exercício começa reunindo informações para se descobrir o raio do quarto de círculo. Isso é feito representando-se a diferença entre o raio e os números disponíveis no exercício. Assim, o lado AO do retângulo é r – 7 e o lado OC é r – 14. Em seguida, uma linha diagonal é traçada dentro do retângulo, de O até B. Esta linha é o raio. E como descobri-lo?
O vídeo propõe usar o teorema de Pitágoras para isso. Seguem os cálculos abaixo, precedidos do Latex correspondente.
Das duas respostas possíveis, r = 7 é rejeitada porque não podemos substituir em r – 7 (medidas de triângulos não são negativas). Portanto, adotamos r = 35. E nosso triângulo tem as seguintes medidas: hipotenusa (e raio do círculo) = 35, base (r – 14) = 21 e altura (r – 7) = 28.
Legal. Nessa etapa do exercício, descobrimos o raio e ficou fácil descobrir a área do retângulo, mas tem um detalhe. Nada disso seria necessário se a gente observasse que o triângulo cuja hipotenusa foi calculado é um triângulo especial. As dimensões do triângulo são 21, 28 e 35, certo? Esta é a proporção 3 : 4 : 5 mencionada agora há pouco. Basta multiplicar por 7. Note que a observação aqui é mais importante do que o cálculo em si. Enfim, assista ao resto do vídeo para acompanhar a resolução do exercício.
(créditos ao professor James e seu fantástico canal no Youtube, o qual utilizei para verificar as informações que estudei, antes de compilar para vocês)
Em um experimento aleatório sabemos os possíveis resultados, mas não qual resultado em particular ocorrerá. Temos a probabilidade de um evento: P(A). E esta probabilidade pode ser descrita assim: 0 <= P(A) <= 1
A interpretação dos resultados obtidos pode ser frequentista ou bayesiana. O primeiro considera o comportamento da probabilidade, caso testes infinitos fossem realizados, e o segundo interpreta a probabilidade como um grau subjetivo de crença. Basicamente, é a lei dos grandes números que vai gerar uma estimativa, a partir de quanto mais testes forem realizados, da verdadeira probabilidade. Então, note a natureza iterativa deste ramo da estatística. Não há respostas certas, apenas aproximações, estas sujeitas a uma das interpretações acima mencionadas.
Outro detalhe interessante é que, na estatística, fala-se muito em perda da memória. O apostador acha que os dados ou a roleta diante dele vai levar em conta que, depois de dezenas de apostas, o resultado que ele quer estará mais próximo de sair. Sinto informar, mas a sorte tem amnésia. O jogo do tigrinho não quer saber se você perdeu demais e precisa ganhar por causa de sua crença em a sorte estar chegando agora. E demonstro isso no próximo parágrafo.
É impossível falar do assunto sem usar moedas, e essa hora chegou. Se você lançar uma moeda dez vezes, e sair cara em todos os lançamentos, qual é a probabilidade de sair cara no próximo lançamento? A probabilidade permanece 50%. E por que seria diferente? Uma moeda possui apenas duas faces; não deixou de ter mais ou menos que isso com o tempo. Isso inclusive é conhecido como a falácia do apostador, ou lei da média.
O espaço amostral, ou seja, todos os possíveis resultados de um experimento, é representado de forma parecida com o observado na teoria de conjuntos. E um evento é um subconjunto do espaço amostral. Assim, o espaço amostral de um casal de dois filhos, por exemplo, fica assim: S = {MM, MF, FM, FF}. Lembre-se de observar a ordem dos eventos. Para representar um evento contendo um filho do sexo masculino e outro feminino, descrevemos assim: E = {MF, FM}. E como, no espaço amostral, todos os elementos têm a mesma chance de ocorrer, dizemos que são equiprováveis. P{MM} = 25% :::: P(E) = P(FM) + P(MF) = 50%
Cabe também fazer uma diferenciação: eventos podem ser disjuntos ou não disjuntos. Quando são disjuntos, não podem ocorrer ao mesmo tempo, como um dado sair os números 5 e 6 ao mesmo tempo, ou um time ganhar e perder uma partida de futebol ao mesmo tempo. Intersecção de A com B é igual a zero. Por sua vez, os eventos não disjuntos podem ocorrer simultaneamente, como dois voos partirem no mesmo horário ou uma pessoa ser formada em Economia e Letras. Intersecção de A com B é diferente de zero.
Pegando um baralho como exemplo (ignorem essas cores aleatórias dessa imagem e finjam que só preto e vermelho são usados), qual a chance de selecionarmos uma carta que seja rei ou 7? Temos um evento disjunto (só é possível somar as probabilidades por causa disso), e as cartas rei ou 7 somam 8. O total de cartas é 52, então a probabilidade é 8 / 52. Intuitivo. Se quiser usar notação, escreva: P(R)+P(7) = 4 / 52 + 4 / 52.
Agora, se quisermos verificar a probabilidade de tirar uma rainha ou qualquer carta vermelha, temos um evento não disjunto, ou seja, temos elementos que fazem parte do mesmo evento (rainha ou cartas vermelhas). Como dito acima, a intersecção de A com B é diferente de zero. Nesse caso, quais cartas participam da interseção? As rainhas vermelhas. E estas, por estarem na interseção, devem ser subtraídas. Com notação, fica assim:
Os eventos complementares são eventos disjuntos que, ao se somar as probabilidades, o resultado dá 1. Isso ocorre não importa quantas vezes se lance uma moeda, por exemplo. Os espaços amostrais não possuem elementos em comum. A notação para eventos complementares é um C sobrescrito: Ac.
Para o exercício a seguir, vamos usar o cálculo da combinação porque a ordem dos elementos importa. O primeiro lugar é campeão da Copa do mundo e o segundo é vice. Ganha quem fizer mais gol. O código do cálculo está disponível em Latex. Abaixo, uma colinha, caso precise se recordar de como calcular combinação:
Exercício disponível no canal do Prof. James:
Um hospital possui 5 psiquiatras e 9 psicólogos em seu quadro e vai formar uma comissão de 5 profissionais. Se a seleção for feita aleatoriamente, qual a probabilidade de essa comissão ser formada por dois psiquiatras e três psicólogos?
Para praticarmos um pouco, observando a proposta inicial do post, seguem abaixo as probabilidades de todas as mãos de pôquer. Mão de cinco cartas. Os cálculos de combinação são simbolizados assim: C (total, elementos selecionados). Ao final dos cálculos, deixei o código em Latex correspondente.
Royal Flush: 0,00000154 (0,000154%) No pôquer, um royal flush é a mão mais rara e consiste em ás, rei, dama, valete e dez, todos do mesmo naipe. Como existem 4 naipes, cada um tem exatamente uma combinação de royal flush (A, K, Q, J, 10). Portanto, existem 4 combinações possíveis de royal flush, divididas pela quantidade de cartas: C(52, 5).
Então, a probabilidade de obter um royal flush em uma mão de cinco cartas é de aproximadamente 0,000154%, ou cerca de 1 em 649.740 mãos.
Straight flush: 0,00001385 (0,001385%)
Note que há um zero a menos do que o resultado do Royal flush. O cálculo, aliás, é semelhante ao do Royal flush, com uma diferença: existem 10 possíveis sequências de straight flush em cada naipe (A-2-3-4-5 até 10-J-Q-K-A, excluindo o royal flush). Existem 4 naipes, portanto, existem 10×4 = 40 combinações possíveis de straight flush.
Temos que subtrair as 4 combinações de royal flush já contadas anteriormente. 40−4=36. Em seguida, divida 36 por C(52, 5).
Four of a kind: 0,00024 (0,024%)
Número de combinações de “four of a kind”: Existem 13 valores possíveis (A, 2, 3, …, K) e em cada valor, há exatamente uma maneira de escolher as 4 cartas desse valor. A quinta carta deve ser de um valor diferente dos quatro, e há 48 opções restantes para essa quinta carta (pois 52 – 4 = 48). Então, o número total de combinações é: 13×48=624.
Temos eventos disjuntos aqui, então, por fim, divida tudo isso por 2.598.960, ou seja, C(52, 5).
Full house: 0,0014 (0,14%) Baralho: C (52, 5); figura de trinca: C (13, 1); naipe de trinca: C (4, 3); figura de par: C (12, 1); naipe de par: C (4, 2) (note que, em C (12, 1), uma figura de trinca já foi selecionada, então restam 12) P = (C(13, 1) * C(4, 3) * C(12, 1) * C(4, 2)) / 2.598.960 = 0,0014
Flush: 0,00196 (0,196%)
Para calcular a probabilidade de obter um flush (cinco cartas do mesmo naipe, mas não em sequência) em uma mão de cinco cartas no pôquer, começamos calculando C(52, 5). Cada naipe tem 13 cartas, então para escolhermos 5 cartas de um único naipe, calculamos C(13, 5) = 1287. Existem 4 naipes, então o número total de combinações possíveis de flush é obtido multiplicando-se 1287 por 4.
Um straight flush (incluindo royal flush) é uma mão que é ao mesmo tempo um straight e um flush, então é preciso subtraí-los. Existem 40 straight flushes (incluindo os 4 royal flushes). Portanto, o número de flushes que não são straight flushes é: 5.148−40=5.108.
Por fim, divida 5108 por C(52, 5).
Straight: 0,0039 (0,39%)
Existem 10 possíveis sequências para um straight (A-2-3-4-5 até 10-J-Q-K-A). Para cada sequência, as 5 cartas podem estar em qualquer um dos 4 naipes, então o número de combinações para cada sequência é ( 45 = 1.024 ). No entanto, essa contagem inclui também os straight flushes, que devem ser excluídos.
Existem 40 straight flushes (incluindo os 4 royal flushes), conforme calculado anteriormente. Número total de straights = 10 * 1.024 – 40 = 10.240 – 40 = 10.200
Por fim, divida 10.200 por C(52, 5)
Three of a kind: 0,0255 (2,55%)
Para obter o número a ser dividido por C(52, 5), multiplique os 13 valores possíveis (A, 2, 3, …, K) por C(4, 3), ou seja, 4 maneiras de escolher 3 das 4 cartas desse valor. As duas cartas restantes devem ser de valores diferentes do valor da trinca e diferentes entre si. Existem 48 cartas restantes para a quarta carta e 44 cartas restantes para a quinta carta (após escolher a quarta carta), então multiplique por C(48, 2). Tudo isso resulta 58.656. Agora é só dividir por C(52, 5).
Two pair: 0,0475 (4,75%)
Existem 13 valores possíveis para o primeiro par e 12 valores possíveis para o segundo par. Para cada par, existem C(4, 2) = 6 formas de escolher duas das quatro cartas desse valor. As duas cartas restantes devem ser de valores diferentes, então há 44 cartas restantes para a quinta carta (depois de escolher os dois pares). Portanto, o número total de combinações de “two pair” é: C(13, 2) * C(4, 2) * C(4, 2) * C(44, 1), totalizando 123.552. Divida este valor por C(52, 5) e pronto.
Pair: 0,4426 (44,26%)
Existem 13 valores possíveis para o par. Para cada valor do par, existem C(4, 2) maneiras de escolher 2 das 4 cartas desse valor. As três cartas restantes devem ser de valores diferentes entre si e diferentes do valor do par. Existem 48 cartas restantes para a primeira das três cartas, 44 para a segunda, e 40 para a terceira. A conta fica assim:
Parece ser a mais simples das contas, mas as aparências enganam. Para calcular a probabilidade, vamos levar em conta que uma mão de high card não deve conter nenhum par, two pair, three of a kind, straight, flush, full house, four of a kind, ou straight flush. Pegue os valores dos cálculos anteriores e some tudo. As combinações que não são high card são:
One pair: 1.098.240 combinações
Two pair: 123.552 combinações
Three of a kind: 54.912 combinações (corrigido a partir do cálculo anterior)
Straight: 10.200 combinações
Flush: 5.108 combinações
Full house: 3.744 combinações
Four of a kind: 624 combinações
Straight flush: 40 combinações (incluindo royal flush)
A soma dessas combinações é igual a 1.296.420. Agora, subtraia C(52, 5) por esse número. Resultado 1.302.540.
São tantas formas de representar números que é espantoso pensar como algo, que damos como comum, sem surpresas, pode ser representado por diversas notações. Algumas que a maioria das calculadoras não reconhece, da teoria dos números. Comecei a abordar este assunto neste post. Vamos a mais algumas:
#: número primorial
Formado pela multiplicação de todos os números primos que antecedem certo número. Número 10#, por exemplo, vale 210.
?: número termial
Este número é formado pela soma de todos os termos anteriores. Número 10? é igual a 55, e o número 100 é igual a 5050. Este exemplo é particularmente conhecido devido à anedota que contam de quando Gauss estava na escola, e um professor preguiçoso o pediu para somar todos os números de 1 a 100. Gauss realizou a tarefa de forma bem simples, somando o primeiro número com o último, multiplicando tudo pela metade dos números: (1 + 100) * 50 = 5050.
Números abundantes e estranhos
Um número estranho ocorre quando a soma dos divisores próprios (que incluem 1, mas não ele mesmo) do número é maior que o número, mas nenhum subconjunto desses divisores soma o próprio número. O menor número estranho é 70. Seus divisores próprios são 1, 2, 5, 7, 10, 14 e 35, que somam 74, mas nenhum subconjunto desses soma 70. O número 12, por outro lado, é abundante, mas não estranho, porque os divisores próprios de 12 são 1, 2, 3, 4 e 6, que somam 16; mas 2 + 4 + 6 = 12.
Por outro lado, um número abundante é um inteiro positivo para o qual a soma de seus divisores próprios é maior que o número.
Ficou com gostinho de quero mais? Divirta-se com esta lista da Wikipédia descrevendo as possibilidades. Várias informações aqui foram retiradas de lá.
Conjetura de Collatz
Talvez ainda não seja plenamente compreendido como esta teoria pode ser usada. De qualquer forma, uso como passatempo quando preciso jogar tempo fora em uma fila. Consiste em se pegar um número e, caso par, dividi-lo por 2; caso ímpar, multiplicar por 3 mais 1. Faça isso até atingir o resultado 1. Exemplo com o número 6: 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Números de Bell
Análise combinatória é algo com o qual nos deparamos em nossas vidas, mas não se pode dizer o mesmo quanto aos números de Bell. Só que, de forma leiga, quando as pessoas pensam em todas as combinações possíveis em um conjunto, suponho que elas pensem em algo que tenda mais aos números de Bell do que para combinação e permutação. Nem todos param para pensar se a ordem dos objetos a se contar a é relevante ou não, e isso não chega a ser preocupação com os números de Bell. Para calcular um número, siga as instruções abaixo:
Comece com o número um e, na próxima linha, repita 1 e some-o com ele mesmo, obtendo 2;
Inicie uma nova linha com o último número da linha anterior, e posicione-o em primeiro lugar na nova linha;
Em seguida, a partir do segundo número, some os números com os números da linha anterior. Na linha 3, por exemplo, depois que se inicia com 2, some 2 com 1 da linha anterior para obter 3. Aí, some 3 com o próximo número da linha anterior, 2. E assim por diante. A quinta linha fica assim, com os cálculos necessários:
15;
15 + 5 = 20;
20 + 7 = 27;
27 + 10 = 37;
37 + 15 = 52
1
1 2
2 3 5
5 7 10 15
15 20 27 37 52
Abaixo, pode-se ver uma demonstração visual. O número de Bell inclui as combinações possíveis com variadas quantias de objetos: um com quatro, dois com três e vice-versa, e inclui combinações em que nem todos os objetos são incluídos.
Consistem nos números que são usados para a formação de binômios (também muito usados em análise combinatória), e que, portanto, aparecem também no Triângulo de Pascal.
Problema de Prouhet-Tarry-Escott
O problema pede dois multiconjuntos disjuntos A e B de n inteiros cada, e os primeiros polinômios simétricos de soma de potência k devem ser todos iguais. a1x + a2x + a3x= b1x + b2x + b3x.
Este problema foi nomeado em homenagem a Eugène Prouhet , que o estudou no início da década de 1850, e Gaston Tarry e Edward B. Escott, que o estudaram no início da década de 1910. O problema se origina de cartas de Christian Goldbach e Leonhard Euler (1750/1751).
Uma solução ideal para n = 6 é dada pelos dois conjuntos { 0, 5, 6, 16, 17, 22 } e { 1, 2, 10, 12, 20, 21 }, porque:
Embora mais conhecidos do público em geral, os números compostos são mais frequentes. É um inteiro positivo que pode ser formado pela multiplicação de dois inteiros positivos menores. Só isso. Todo inteiro positivo é composto, primo ou a unidade 1, então os números compostos são exatamente os números que não são primos e não são uma unidade.
Por exemplo, o inteiro 14 é um número composto porque é o produto dos dois inteiros menores 2 × 7. Da mesma forma, os inteiros 2 e 3 não são números compostos porque cada um deles só pode ser dividido por um e por si mesmo.
Os números deficientes, por sua vez, consistem em inteiros cujos divisores, somados, dão resultado menor do que o número em questão. Exemplo: 16. Seus divisores são 8, 4, 2 e 1; somados, dão menos que 16. E, naturalmente, todos os números primos são deficientes.
Falando neles… na teoria dos números , o primo doméstico HP ( n ) de um inteiro > 1 é o número primo obtido pela fatoração repetida da concatenação crescente de fatores primos, incluindo repetições. Por exemplo, HP(10) = 773, como 10 fatores como 2×5 produzindo HP10(1) = 25, 25 fatores como 5×5 produzindo HP10(2) = HP25(1) = 55, 55 = 5×11 implica HP10(3) = HP25(2) = HP55(1) = 511, e 511 = 7×73 fornece HP10(4) = HP25(3) = HP55(2) = HP511(1) = 773, um número primo.
E tem muito mais. Algumas sugestões para se ler mais a respeito: os números Padovan, os triangulares, os números Motzkin… este último, me ocorreu agora, poderia ser usado para resolver um enigma que me apresentaram do tempo do fundamental. Consistem em três pontos do lado esquerdo, três do direito, e o objetivo é conectá-los sem que as linhas se cruzem. Embora os pontos, no enigma, não sejam apresentados inscritos em um círculo, nada impediria de se propor isso para se buscar uma solução…
Mais uma coisa que não ensinam nas escolas. Em vez de usar a dita fórmula de Bhaskara (que só é chamada assim aqui, mais uma jabuticaba nossa), porque não usar a de Viète? Vamos a ela.
Diante de um polinômio, comece substituindo xis por x = u + v. Em seguida, expanda o produto notável. Assim:
Repare que a parte em negrito é o mesmo polinômio com o qual começamos, então pode ser zerado mais à frente. Em seguida, vamos colocar o resto da equação em evidência. Com esse processo, vamos encontrar o valor de u e v será a única incógnita. Por fim, deixamos a variável ao quadrado de um lado e o número 25 de outro. Tiramos a raiz de 25 e, assim como faríamos em Bhaskara (fórmula quadrática), usamos o sinal ± ao final.
Por último, some o valor de u ao de v e obtenha dois resultados possíveis. Cabe a você aceitar ou rejeitar um dos resultados, de acordo com o que o exercício pedir.
x = u + v 👉👉x = 4 + 5 = 9 🎈🎈x = 4 + (-5) = – 1 🎈🎈 x = {-1, 9}
Bônus: mais uma forma de fatorar. Se o primeiro termo não estiver apenas com a variável ao quadrado, multiplique o último termo por este coeficiente. Em seguida, encontre números que, somando, tenham como resultado o segundo termo, e que, multiplicando, tenham como resultado o terceiro termo. Com o tempo, isso fica intuitivo, mas enquanto não se adquire prática, decomponha o número até encontrar os números menores que você precisa para satisfazer esta condição. Assim:
Só isso? Na verdade, só falta uma coisa. Lembra do coeficiente que estava elevado ao quadrado? Vamos recolocá-lo na expressão acima, e simplificar.
(10x – 6) (10x + 15) ➗➗ (5x – 3) (2x + 3)
Além desses dois métodos, tem ainda o tic-tac-toe rule, que você pode conferir neste vídeo curtinho do canal Blue pen red pen. É basicamente uma variação desse método que acabei de mostrar acima, então fique à vontade para escolher o método com o qual você se adaptar melhor.
Já faz um tempo que encontrei esta questão, neste vídeo aqui, bem modesto, que desafia o estudante a encontrar padrões bem diante de seus olhos. Embora seja parecido com um exercício que apresentei aqui esse mês, aqui não temos a oportunidade de encontrar o valor de duas variáveis combinadas. Na verdade, em certa parte do exercício, em meio às suas pegadinhas, somos levados a um beco sem saída. Do qual só é possível se safar isolando-se os poucos números restantes e, novamente, fatorando-se uma última vez. Basicamente, é uma questão sem caminho definido, que o próprio estudante deve criar. Coisas fundamentais não são dadas pelo enunciado.
(x2+1)(y2+1)+9=6(x+y)/// encontre x2+y2
Spoiler alert: cuidado com o finalzinho da questão. x2+y2 NÃO É a mesma coisa que (x+y)2. Use e abuse das manipulações algébricas. Duas diferenças de quadrados, entre elas uma bem atípica, podem ser formadas, mas você terá de trazer algo ao exercício para conseguir isso. Pensar fora da caixa é fundamental aqui.
Confira a resolução abaixo em Latex:
(x^2+1)(y^2+1)+9=6(x+y) \newline
x^2y^2+x^2+y^2+1+9=6(x+y) \to x^2y^2\color{Red} +2xy-2xy\color{Black} +x^2+y^2+9+1-6(x+y)=0 \newline
\text{difference of squares: } (x+y)^2=x^2\color{Red} +2xy\color{Black} +y^2 \newline
\text{difference of squares: } (xy-1)^2=x^2y^2\color{Red} -2xy\color{Black } +1 \newline
(x+y)^2(xy-1)^2+9-6(x+y) \to \color{Blue} (x+y)^2(xy-1)^2+3^2-6(x+y)=0 \newline
\text{another difference of squares: } (\color{Blue} (x+y)\color{Black} -3)^2=(x+y)^2-6(x+y)+9 \newline
(xy-1)^2+((x+y)-3)^2=0\newline
\text{both polynoms must be zero, so...} \newline
xy-1=0 \to xy=1 \text{ and } (x+y)-3=0 \to x+y=3 \newline
\text{substitute in any of the polynoms:} \newline
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \newline x^2+y^2=(x+y)^2-2(1) \to (3)^2-2=7
Esta é daquelas coisas interessantes que nunca nos ensinam na escola. Pega a visão.
Como resolver isso aqui? Sabemos que um fatorial (um ponto de exclamação) é a multiplicação de um número por todos os seus termos anteriores até 1. E fatoriais duplos, triplos? Estes simplesmente são a multiplicação de um número por seus termos anteriores, com um intervalo maior entre eles. Veja a lista abaixo:
Antes de resolvermos o exercício, uma ressalva: (3!)! não é a mesma coisa que 3!!. Na verdade, aqui resolvemos o que está dentro do parênteses, e só depois usamos o ponto de exclamação externo, então temos: 3! = 6. Aplicando o ponto de exclamação externo a esse 6, temos 6! = 720.
Substituindo tudo, temos o resultado abaixo. Tente fazer primeiro, e depois confira a resposta colando o código em um editor Latex.
\frac{880*720}{5040*384}=\frac{55}{168}
Acho que uma boa metáfora para entender como usar este conhecimento é a famosa dança das cadeiras, comum entre as crianças. Quando a música para de tocar, uma criança sempre fica de fora por vez, então começamos com 5!. Se quisermos que uma criança sempre fique de fora a cada duas vezes que a música para, usamos 5!!. A cada três vezes, 5!!!. Então, as probabilidades das crianças sentadas são: 5!=120; 5!!=15; 5!!!=10; 5!!!! e 5!!!!!=5.
Para quem gosta de reality shows, as especulações sobre quem vai ganhar o prêmio da atração ao passar três meses sem trabalhar podem ser feitas assim: se temos 12 participantes, temos… 12! = 479.001.600; 12!! = 46.080; 12!!! = 1944; 12!!!! = 384; 12!!!!! = 168; 12!!!!!! = 72.
Volta e meia circulam por canais de matemática algumas questões virais que exigem muito pensamento lateral para serem resolvidas. Algumas não passam de gente vaidosa querendo assustar com fórmulas prolixas, mas outras consistem em manipulações que nos demonstram que temos mais informações do que pensamos, ao ler um enunciado. A questão abaixo é uma dessas.
Se a+b=1 e a2+b2=2, quanto vale a11+b11?
A resposta está abaixo, em código Latex. Copie e cole em qualquer leitor para verificar. Mas antes disso, quero comentar algumas coisas. A maioria dos estudantes tem dificuldade de visualizar que uma razão, não importa os números usados, é sempre a mesma. 3 / 4 é a mesma coisa que (3 / 4)2 ou 9 / 12. E isso também ocorre com polinômios. Posso não saber os valores envolvidos nas variáveis, mas sei que a proporção permanece. Além disso, elevar uma operação ao quadrado tem a vantagem de dividir a razão em partes menores. E, quando menos se esperar, será possível encontrar algumas pistas. Então, o primeiro passo é esse: eleve a+b ao quadrado e fatore. Vamos encontrar a2+b2, mas também encontramos 2ab. Temos novidade aqui. Mantemos a e b ao quadrado no mesmo lugar e transferimos para o outro lado da igualdade esse número 2. E pronto, temos um valor estabelecido para ab.
Esse valor pode ser usado em todos os polinômios que você vai fatorar. Não importa a combinação que você obtiver, sempre será possível isolar ab, mesmo que você tenha que elevar a alguma potência. Não importa a potência, basta deixar ab entre parênteses e você consegue sempre usar esse valor. E o processo, com os próximos polinômios, é o mesmo: você mantém a+b elevado a alguma potência, e passa o valor obtido pela substituição de ab para o outro lado do sinal de igual. É matemática discreta, mas em alguns aspectos, é quase iterativa.
À medida que você descobrir valores para cada polinômio, você pode ir multiplicando um pelo outro e isolar ab sempre que possível. Vai chegar um momento em que a multiplicação das potências dos polinômios vai dar 11. E aqui a mágica acontece: você encontra a resposta apenas isolando, isolando e isolando.
Delta xis 