Delta xis

Mais uma coisa que não ensinam nas escolas. Em vez de usar a dita fórmula de Bhaskara (que só é chamada assim aqui, mais uma jabuticaba nossa), porque não usar a de Viète? Vamos a ela.

Diante de um polinômio, comece substituindo xis por x = u + v. Em seguida, expanda o produto notável. Assim:

x² – 8x – 9 = 0 👉 (u + v)² – 8(u + v) – 9 = 0

u² + 2uv + v² – 8u – 8v – 9 = 0 👉👉 v² + 2uv – 8v + u² – 8u – 9 = 0

Repare que a parte em negrito é o mesmo polinômio com o qual começamos, então pode ser zerado mais à frente. Em seguida, vamos colocar o resto da equação em evidência. Com esse processo, vamos encontrar o valor de u e v será a única incógnita. Por fim, deixamos a variável ao quadrado de um lado e o número 25 de outro. Tiramos a raiz de 25 e, assim como faríamos em Bhaskara (fórmula quadrática), usamos o sinal ± ao final.

v² + v (2u – 8) + u² – 8u – 9 = 0 👉👉2u – 8 👉👉u = 4
v² + v (2(4) – 8) + u² – 8u – 9 = 0 👉👉v² + v (8 – 8) + u² – 8u – 9 = 0 👉👉
v² +4² – 8(4) – 9 = 0 👉👉 v² = 25 👉v = ±5

Por último, some o valor de u ao de v e obtenha dois resultados possíveis. Cabe a você aceitar ou rejeitar um dos resultados, de acordo com o que o exercício pedir.

x = u + v 👉👉x = 4 + 5 = 9 🎈🎈x = 4 + (-5) = – 1 🎈🎈 x = {-1, 9}

Bônus: mais uma forma de fatorar. Se o primeiro termo não estiver apenas com a variável ao quadrado, multiplique o último termo por este coeficiente. Em seguida, encontre números que, somando, tenham como resultado o segundo termo, e que, multiplicando, tenham como resultado o terceiro termo. Com o tempo, isso fica intuitivo, mas enquanto não se adquire prática, decomponha o número até encontrar os números menores que você precisa para satisfazer esta condição. Assim:

10x² + 9x – 9 👉👉 x² + 9x – 90

90 / 2👉 45 / 3 👉 15 / 3 👉5 / 5 👉 1
(2)(3)(3)(15) 👉👉 a + b = 9 👉👉 15 + (-6) = 9 👉👉 (x – 6) (x + 15)

Só isso? Na verdade, só falta uma coisa. Lembra do coeficiente que estava elevado ao quadrado? Vamos recolocá-lo na expressão acima, e simplificar.

(10x – 6) (10x + 15) ➗➗ (5x – 3) (2x + 3)

Além desses dois métodos, tem ainda o tic-tac-toe rule, que você pode conferir neste vídeo curtinho do canal Blue pen red pen. É basicamente uma variação desse método que acabei de mostrar acima, então fique à vontade para escolher o método com o qual você se adaptar melhor.

Já faz um tempo que encontrei esta questão, neste vídeo aqui, bem modesto, que desafia o estudante a encontrar padrões bem diante de seus olhos. Embora seja parecido com um exercício que apresentei aqui esse mês, aqui não temos a oportunidade de encontrar o valor de duas variáveis combinadas. Na verdade, em certa parte do exercício, em meio às suas pegadinhas, somos levados a um beco sem saída. Do qual só é possível se safar isolando-se os poucos números restantes e, novamente, fatorando-se uma última vez. Basicamente, é uma questão sem caminho definido, que o próprio estudante deve criar. Coisas fundamentais não são dadas pelo enunciado.

(x²+1)(y²+1)+9=6(x+y) /// encontre x²+y²

Spoiler alert: cuidado com o finalzinho da questão. x²+y² NÃO É a mesma coisa que (x+y)². Use e abuse das manipulações algébricas. Duas diferenças de quadrados, entre elas uma bem atípica, podem ser formadas, mas você terá de trazer algo ao exercício para conseguir isso. Pensar fora da caixa é fundamental aqui.

Confira a resolução abaixo em Latex:

(x^2+1)(y^2+1)+9=6(x+y) \newline
x^2y^2+x^2+y^2+1+9=6(x+y) \to x^2y^2\color{Red} +2xy-2xy\color{Black} +x^2+y^2+9+1-6(x+y)=0 \newline
\text{difference of squares: } (x+y)^2=x^2\color{Red} +2xy\color{Black} +y^2 \newline
\text{difference of squares: } (xy-1)^2=x^2y^2\color{Red} -2xy\color{Black } +1 \newline
(x+y)^2(xy-1)^2+9-6(x+y) \to \color{Blue} (x+y)^2(xy-1)^2+3^2-6(x+y)=0 \newline
\text{another difference of squares: } (\color{Blue} (x+y)\color{Black} -3)^2=(x+y)^2-6(x+y)+9 \newline
(xy-1)^2+((x+y)-3)^2=0\newline
\text{both polynoms must be zero, so...} \newline
xy-1=0 \to xy=1 \text{ and } (x+y)-3=0 \to x+y=3 \newline
\text{substitute in any of the polynoms:} \newline
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \newline x^2+y^2=(x+y)^2-2(1) \to (3)^2-2=7

Esta é daquelas coisas interessantes que nunca nos ensinam na escola. Pega a visão.

Como resolver isso aqui? Sabemos que um fatorial (um ponto de exclamação) é a multiplicação de um número por todos os seus termos anteriores até 1. E fatoriais duplos, triplos? Estes simplesmente são a multiplicação de um número por seus termos anteriores, com um intervalo maior entre eles. Veja a lista abaixo:

7! = (7)(7-1)(7-2)(7-3)(7-4)(7-5)(7-6) ou (7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 5040
7!! = (7)(7-2)(7-4)(7-6) = 105
7!!! = (7)(7-3)(7-6) = 28

Antes de resolvermos o exercício, uma ressalva: (3!)! não é a mesma coisa que 3!!. Na verdade, aqui resolvemos o que está dentro do parênteses, e só depois usamos o ponto de exclamação externo, então temos: 3! = 6. Aplicando o ponto de exclamação externo a esse 6, temos 6! = 720.

Substituindo tudo, temos o resultado abaixo. Tente fazer primeiro, e depois confira a resposta colando o código em um editor Latex.

\frac{880*720}{5040*384}=\frac{55}{168}

Acho que uma boa metáfora para entender como usar este conhecimento é a famosa dança das cadeiras, comum entre as crianças. Quando a música para de tocar, uma criança sempre fica de fora por vez, então começamos com 5!. Se quisermos que uma criança sempre fique de fora a cada duas vezes que a música para, usamos 5!!. A cada três vezes, 5!!!. Então, as probabilidades das crianças sentadas são: 5!=120; 5!!=15; 5!!!=10; 5!!!! e 5!!!!!=5.

Para quem gosta de reality shows, as especulações sobre quem vai ganhar o prêmio da atração ao passar três meses sem trabalhar podem ser feitas assim: se temos 12 participantes, temos…
12! = 479.001.600; 12!! = 46.080; 12!!! = 1944; 12!!!! = 384; 12!!!!! = 168; 12!!!!!! = 72.

Volta e meia circulam por canais de matemática algumas questões virais que exigem muito pensamento lateral para serem resolvidas. Algumas não passam de gente vaidosa querendo assustar com fórmulas prolixas, mas outras consistem em manipulações que nos demonstram que temos mais informações do que pensamos, ao ler um enunciado. A questão abaixo é uma dessas.

Se a+b=1 e a²+b²=2, quanto vale a¹¹+b¹¹?

A resposta está abaixo, em código Latex. Copie e cole em qualquer leitor para verificar. Mas antes disso, quero comentar algumas coisas. A maioria dos estudantes tem dificuldade de visualizar que uma razão, não importa os números usados, é sempre a mesma. 3 / 4 é a mesma coisa que (3 / 4)² ou 9 / 12. E isso também ocorre com polinômios. Posso não saber os valores envolvidos nas variáveis, mas sei que a proporção permanece. Além disso, elevar uma operação ao quadrado tem a vantagem de dividir a razão em partes menores. E, quando menos se esperar, será possível encontrar algumas pistas. Então, o primeiro passo é esse: eleve a+b ao quadrado e fatore. Vamos encontrar a²+b², mas também encontramos 2ab. Temos novidade aqui. Mantemos a e b ao quadrado no mesmo lugar e transferimos para o outro lado da igualdade esse número 2. E pronto, temos um valor estabelecido para ab.

Esse valor pode ser usado em todos os polinômios que você vai fatorar. Não importa a combinação que você obtiver, sempre será possível isolar ab, mesmo que você tenha que elevar a alguma potência. Não importa a potência, basta deixar ab entre parênteses e você consegue sempre usar esse valor. E o processo, com os próximos polinômios, é o mesmo: você mantém a+b elevado a alguma potência, e passa o valor obtido pela substituição de ab para o outro lado do sinal de igual. É matemática discreta, mas em alguns aspectos, é quase iterativa.

À medida que você descobrir valores para cada polinômio, você pode ir multiplicando um pelo outro e isolar ab sempre que possível. Vai chegar um momento em que a multiplicação das potências dos polinômios vai dar 11. E aqui a mágica acontece: você encontra a resposta apenas isolando, isolando e isolando.

Confira abaixo a resposta em Latex:

\text{Se }a+b=1 \text{ e } a^2+b^2=2 \text{ encontre valor de }a^{11}+b^{11} \newline
(a+b)^2=1^2 \to a^2+2ab+b^2 \to a^2+b^2+2ab=1 \newline 2+2ab=1 \to 2ab=-1 \cdots \color{Blue} ab=-\frac{1}{2} \newline
\color{Blue} (a+b)^3=1^3 \to a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=1 \color{Black} \to a^3+b^3+3(ab)(a+b)=1 \newline
a^3+b^3+3(-\frac{1}{2})(1)=1 \to ...(-\frac{3}{2})  \to \color{Blue} a^3+b^3=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2} \newline
\color{Blue} (a^2+b^2)(a^3+b^3)=2\frac{5}{2} \color{Black} \to a^5+a^2b^3+a^3b^2+b^5=5 \to a^5+b^5+a^2b^2(a+b)=5 \newline
a^5+b^5+(ab)^2(a+b)=5 \to  (...) -(\frac{1}{2})^2(1)=5 \to ...=5-\frac{1}{4} \to \color{Blue} a^5+b^5=\frac{19}{4} \newline
\color{Blue} (a^3+b^3)^2=(\frac{5}{2})^2 \to \color{Black} a^6+2a^3b^3+b^6=\frac{25}{4} \to ...+2(ab)^3 \to 2(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{4} \newline
a^6+b^6=\frac{25}{4}+\frac{1}{4}=\frac{26}{4} \color{Blue} \to \frac{13}{2} \newline
\color{Blue} (a^5+b^5)(a^6+b^6)=\frac{19}{4}\frac{13}{2} \color{Black} \to a^{11}+b^{11}+a^5b^6+a^6b^5=\frac{247}{8} \to ...(ab)^5(a+b) \newline
a^{11}+b^{11}+(-\frac{1}{2})^5(1)) \to \color{Blue} a^{11}+b^{11}=\frac{247}{8}+\frac{1}{32}=\frac{989}{32}