Delta xis

A geometria é o ramo da matemática que mais lembra o ofício de um delegado: antes de qualquer cálculo, você precisa sempre investigar o que o enunciado não dá logo de cara. Entre relações trigonométricas e razões, tem sempre coisa que o polígono diante de você revela. Várias delas aprendi com o canal PreMath, que recomendo, e que comprova a teoria que já li internet afora de que, quando se quer encontrar uma explicação fácil para algo, pesquise um indiano explicando.

Espiral de Teodoro

Consiste em uma espiral infinita, formada por triângulos, cujo padrão consiste em a base n do triângulo ser uma raiz, a altura ser 1, e a hipotenusa ser uma raiz n + 1. Prático, né?

Triângulo especial

Um triângulo retângulo especial possui alguma característica regular que facilita cálculos. Por exemplo, um triângulo retângulo pode ter ângulos formando relações características, como 45°–45°–90°, ou seja, um triângulo retângulo “baseado em ângulo”. Um triângulo retângulo “baseado em lado” tem lados com comprimentos formando relações de números inteiros, como 3 : 4 : 5, ou de outros números especiais, como a proporção áurea [1].

E aqui quero chamar sua atenção para os triângulos de proporção 3 : 4 : 5, pois são comuns em exercícios do Ensino Médio. Mesmo tendo apenas uma medida fornecida pelo exercício, você consegue obter todos os outros lados. Os triângulos 3 : 4 : 5 são os únicos com lados em progressão aritmética. Triângulos baseados sobre triplas pitagóricas são heronianos: têm áreas, bem como lados, inteiros.

Veja abaixo como descobrir todos os lados de um triângulo retângulo tendo apenas uma medida:

• Lado 10: os outros lados são 6 e 8 (3, 4 e 5 vezes 2);
• Lado 16: os outros lados são 12 e 20 (3, 4 e 5 vezes 4);
• Lado 21: os outros lados são 28 e 35 (3, 4 e 5 vezes 7).

Existem diversas triplas pitagóricas bem conhecidas, incluindo aquelas com lados nas relações:

3: 4 :5
5: 12 :13
8: 15 :17
7: 24 :25
9: 40 :41

Interpolação

E se estivermos diante de um polígono com mais de 4 lados? Aí a gente aplica um conceito da progressão aritmética, resumido na concisa fórmula abaixo:

a_n = a₁ + (n – 1) * r

Bônus: em questão do ENEM, já foi cobrado o número pentagonal. A questão pergunta qual é o oitavo número pentagonal. E a imagem, embora interessante, mais confunde do que explica. Talvez apenas apresentando números ficasse mais fácil de responder. O número pentagonal é uma progressão aritmética: você começa com um número n, o número 1. Para obter o próximo número, você soma esse n com n mais 1. Para as próximas somas, você soma o resultado da soma anterior por n da soma anterior mais 3. Veja exemplos abaixo:

1
1 + 4 = 5
5 + 7 = 12
12 + 10 = 22
22 + 13 = 35

Mais pistas

Outras pistas valiosas estão diante de nosso nariz. A altura do triângulo não pode ser maior do que metade da base deste. Caso o exercício possua muitas linhas, não se desespere e lembre-se do teorema de Tales: se cortarmos duas retas por várias retas paralelas, os segmentos em ambas são proporcionais. Se observarmos bem, tem sempre uma proporção disponível para nos guiar.

Quanto aos círculos, o teorema de Tales afirma também que se uma reta AC é o diâmetro desta circunferência, então os pontos ABC formam um triângulo retângulo.

Atalhos

E se acha que exagero quando afirmo que geometria tem mais a ver com investigação do que com cálculos, peguei um exercício do PreMath para mostrar a vocês que, sabendo certas coisas, é possível ganhar muito tempo. Aqui, precisamos descobrir a área da parte rosa, e para isso precisamos calcular o raio, a área do retângulo, do quarto de círculo e, por fim, subtrair a área do círculo pela do retângulo.

No vídeo, a resolução do exercício começa reunindo informações para se descobrir o raio do quarto de círculo. Isso é feito representando-se a diferença entre o raio e os números disponíveis no exercício. Assim, o lado AO do retângulo é r – 7 e o lado OC é r – 14. Em seguida, uma linha diagonal é traçada dentro do retângulo, de O até B. Esta linha é o raio. E como descobri-lo?

O vídeo propõe usar o teorema de Pitágoras para isso. Seguem os cálculos abaixo, precedidos do Latex correspondente.

a^2+b^2=c^2 \newline
(r-7)^2+(r-14)^2=r^2 \to \color{Red} r^2\color{Black} -14r+49+r^2-28r+196=\color{Red} r^2 \newline
-14r+49+r^2-28r+196=0 \to r^2-42r+245=0 \newline
\text{fatorando 245 >> 7 * 35, temos: }(r-7)(r-35) \newline
r-7 \Rightarrow r=7 \text{ ... }r-35 \Rightarrow r=35 \newline

Legal. Nessa etapa do exercício, descobrimos o raio e ficou fácil descobrir a área do retângulo, mas tem um detalhe. Nada disso seria necessário se a gente observasse que o triângulo cuja hipotenusa foi calculado é um triângulo especial. As dimensões do triângulo são 21, 28 e 35, certo? Esta é a proporção 3 : 4 : 5 mencionada agora há pouco. Basta multiplicar por 7. Note que a observação aqui é mais importante do que o cálculo em si. Enfim, assista ao resto do vídeo para acompanhar a resolução do exercício.

São tantas formas de representar números que é espantoso pensar como algo, que damos como comum, sem surpresas, pode ser representado por diversas notações. Algumas que a maioria das calculadoras não reconhece, da teoria dos números. Comecei a abordar este assunto neste post. Vamos a mais algumas:

#: número primorial

Formado pela multiplicação de todos os números primos que antecedem certo número. Número 10#, por exemplo, vale 210.

?: número termial

Este número é formado pela soma de todos os termos anteriores. Número 10? é igual a 55, e o número 100 é igual a 5050. Este exemplo é particularmente conhecido devido à anedota que contam de quando Gauss estava na escola, e um professor preguiçoso o pediu para somar todos os números de 1 a 100. Gauss realizou a tarefa de forma bem simples, somando o primeiro número com o último, multiplicando tudo pela metade dos números: (1 + 100) * 50 = 5050.

Números abundantes e estranhos

Um número estranho ocorre quando a soma dos divisores próprios (que incluem 1, mas não ele mesmo) do número é maior que o número, mas nenhum subconjunto desses divisores soma o próprio número. O menor número estranho é 70. Seus divisores próprios são 1, 2, 5, 7, 10, 14 e 35, que somam 74, mas nenhum subconjunto desses soma 70. O número 12, por outro lado, é abundante, mas não estranho, porque os divisores próprios de 12 são 1, 2, 3, 4 e 6, que somam 16; mas 2 + 4 + 6 = 12.

Por outro lado, um número abundante é um inteiro positivo para o qual a soma de seus divisores próprios é maior que o número.

Ficou com gostinho de quero mais? Divirta-se com esta lista da Wikipédia descrevendo as possibilidades. Várias informações aqui foram retiradas de lá.

Conjetura de Collatz

Talvez ainda não seja plenamente compreendido como esta teoria pode ser usada. De qualquer forma, uso como passatempo quando preciso jogar tempo fora em uma fila. Consiste em se pegar um número e, caso par, dividi-lo por 2; caso ímpar, multiplicar por 3 mais 1. Faça isso até atingir o resultado 1. Exemplo com o número 6: 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Números de Bell

Análise combinatória é algo com o qual nos deparamos em nossas vidas, mas não se pode dizer o mesmo quanto aos números de Bell. Só que, de forma leiga, quando as pessoas pensam em todas as combinações possíveis em um conjunto, suponho que elas pensem em algo que tenda mais aos números de Bell do que para combinação e permutação. Nem todos param para pensar se a ordem dos objetos a se contar a é relevante ou não, e isso não chega a ser preocupação com os números de Bell. Para calcular um número, siga as instruções abaixo:

1. Comece com o número um e, na próxima linha, repita 1 e some-o com ele mesmo, obtendo 2;
2. Inicie uma nova linha com o último número da linha anterior, e posicione-o em primeiro lugar na nova linha;
3. Em seguida, a partir do segundo número, some os números com os números da linha anterior. Na linha 3, por exemplo, depois que se inicia com 2, some 2 com 1 da linha anterior para obter 3. Aí, some 3 com o próximo número da linha anterior, 2. E assim por diante. A quinta linha fica assim, com os cálculos necessários:
   • 15;
   • 15 + 5 = 20;
   • 20 + 7 = 27;
   • 27 + 10 = 37;
   • 37 + 15 = 52

1
1  2
2  3  5
5  7  10  15
15  20  27  37  52

Abaixo, pode-se ver uma demonstração visual. O número de Bell inclui as combinações possíveis com variadas quantias de objetos: um com quatro, dois com três e vice-versa, e inclui combinações em que nem todos os objetos são incluídos.

Coeficientes binomiais

Consistem nos números que são usados para a formação de binômios (também muito usados em análise combinatória), e que, portanto, aparecem também no Triângulo de Pascal.

Problema de Prouhet-Tarry-Escott

O problema pede dois multiconjuntos disjuntos A e B de n inteiros cada, e os primeiros polinômios simétricos de soma de potência k devem ser todos iguais. a1^x + a2^x + a3^x= b1^x + b2^x + b3^x.

Este problema foi nomeado em homenagem a Eugène Prouhet , que o estudou no início da década de 1850, e Gaston Tarry e Edward B. Escott, que o estudaram no início da década de 1910. O problema se origina de cartas de Christian Goldbach e Leonhard Euler (1750/1751).

Uma solução ideal para n  = 6 é dada pelos dois conjuntos { 0, 5, 6, 16, 17, 22 } e { 1, 2, 10, 12, 20, 21 }, porque:

0¹ + 5¹ + 6¹ + 16¹ + 17¹ + 22¹= 1¹ + 2¹ + 10¹ + 12¹ + 20¹ + 21¹
0² + 5² + 6² + 16² + 17² + 22²= 1² + 2² + 10² + 12² + 20² + 21²
0³ + 5³ + 6³ + 16³ + 17³ + 22³= 1³ + 2³ + 10³ + 12³ + 20³ + 21³
(e assim por diante com outras potências)

Números compostos e deficientes

Embora mais conhecidos do público em geral, os números compostos são mais frequentes. É um inteiro positivo que pode ser formado pela multiplicação de dois inteiros positivos menores. Só isso. Todo inteiro positivo é composto, primo ou a unidade 1, então os números compostos são exatamente os números que não são primos e não são uma unidade.

Por exemplo, o inteiro 14 é um número composto porque é o produto dos dois inteiros menores 2 × 7. Da mesma forma, os inteiros 2 e 3 não são números compostos porque cada um deles só pode ser dividido por um e por si mesmo.

Os números compostos até 150 são: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150. (sequência A002808 no OEIS )

Os números deficientes, por sua vez, consistem em inteiros cujos divisores, somados, dão resultado menor do que o número em questão. Exemplo: 16. Seus divisores são 8, 4, 2 e 1; somados, dão menos que 16. E, naturalmente, todos os números primos são deficientes.

Falando neles… na teoria dos números , o primo doméstico HP ( n ) de um inteiro > 1 é o número primo obtido pela fatoração repetida da concatenação crescente de fatores primos, incluindo repetições. Por exemplo, HP(10) = 773, como 10 fatores como 2×5 produzindo HP10(1) = 25, 25 fatores como 5×5 produzindo HP10(2) = HP25(1) = 55, 55 = 5×11 implica HP10(3) = HP25(2) = HP55(1) = 511, e 511 = 7×73 fornece HP10(4) = HP25(3) = HP55(2) = HP511(1) = 773, um número primo.

E tem muito mais. Algumas sugestões para se ler mais a respeito: os números Padovan, os triangulares, os números Motzkin… este último, me ocorreu agora, poderia ser usado para resolver um enigma que me apresentaram do tempo do fundamental. Consistem em três pontos do lado esquerdo, três do direito, e o objetivo é conectá-los sem que as linhas se cruzem. Embora os pontos, no enigma, não sejam apresentados inscritos em um círculo, nada impediria de se propor isso para se buscar uma solução…